燕尾定理公式及口诀（燕尾模型主要结论及应用）

燕尾模型的主要结论及应用

燕尾模型的基础是等高三角形面积比等于对应底边之比（图1）。

在三角形 ABC中, D为BC上一点，连接AD；取AD上点O，连接OB、OC，则有图2中的面积和线段比例关系，即燕尾模型公式。

如果将图2中的BO、CO延长分别交AC于E和AB于F，根据燕尾模型公式及比例性质可得到如图3中的面积比和线段比的等量关系。

燕尾定理因此图形类似燕尾而得名，是一个关于三角形的基础定理，在许多几何题目中有着广泛的运用，为三角形面积与对应底边之间建立了等量关系，现举例如下。

题目1：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，AD、BE、CF相交于点O，若BD/DC=2/3，AE/CE=5/3，则AF/BF的值为（5/2）。

解题思路：根据燕尾模型公式，先将已知线段比转化为面积比，进行简单运算后再将面积比转化为线段比。

将S△AOB、S△AOC、S△BOC分别标识为S₁、S ₂和S ₃。根据燕尾模型公式得：

S₁/ S ₂= BD/DC=2/3…………①;

S₁/ S ₃ = AE/CE=5/3…………②。

将②/①得：

S₁/ S ₃·S ₂/ S₁=5/2，

S ₂/ S ₃=5/2。

故AF/BF= S ₂/ S ₃=5/2。

题目2：如图，在△ABC中，O是三角形内任一点，AO、BO、CO的延长线交对边于D、E、F。求证：AE/EC+AF/FB=AO/OD。

解题思路：参考图2中燕尾定理公式，将欲证线段等式AE/EC+AF/FB=AO/OD用面积比例显示如下：

AE/EC = S△AOB/ S△BOC;

AF/FB = S△AOC/ S△BOC。

AE/EC+AF/FB=（S△AOB+ S△AOC）/ S△BOC

=（S△ABC- S△BOC）/ S△BOC。

AE/EC+AF/FB = S△ABC/ S△BOC - 1。

AO/OD=(S△AOB+ S△AOC)/S△BOC

=( S△ABC- S△BOC) /S△BOC,

AO/OD= S△ABC/ S△BOC – 1。

故AE/EC+AF/FB=AO/OD成立。